Question

5．如图，已知抛物线y=（x-1）²+k的图象与x轴交于点A（-1，0），C两点，与y轴交于点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P使S_△PAC=$\frac{3}{4}$S_△ABC？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）代入抛物线y=（x-1）²+k，求出k即可解决问题．
（2）存在．先求出△ABC的面积，再根据已知条件求出点P的纵坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）存在．分三种情形讨①当AQ=AB时，有两种情形a、当Q₁在x轴上方，；b、当Q₂在x轴下方时，利用勾股定理即可解决问题．
②当BA=BQ时，此时Q在x轴上，即Q₃（1，0）．
③当QA=QB时，点Q在AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入抛物线y=（x-1）²+k得，0=4+k，
∴k=-4，
∴抛物线解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，
令x=0，得y=-3，
∴点B坐标为（0，-3）．

（2）存在．如图1中，

理由：令y=0，则x²-2x-3=0，
∴x=-1或3，
∴点A（-1，0），C（3，0），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵S_△PAC=$\frac{3}{4}$S_△ABC，
∴S_△PAC=$\frac{9}{2}$，设P（m，n），
则有$\frac{1}{2}$×4×|n|=$\frac{9}{2}$，
∴n=$±\frac{9}{4}$，
当n=$\frac{9}{4}$时，m²-2m-3=$\frac{9}{4}$，解得m=-$\frac{3}{2}$或$\frac{7}{2}$，此时P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），
当n=-$\frac{9}{4}$时，m²-2m-3=-$\frac{9}{4}$，解得m=$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$或$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，此时P（$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．
综上所述，满足条件的P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）或（$\frac{2-\sqrt{7}}{2}$，-$\frac{9}{4}$）．

（3）如图2中，存在．

①当AQ=AB时，有两种情形a、当Q₁在x轴上方，此时Q₁（1，$\sqrt{6}$）；b、当Q₂在x轴下方时，此时Q₂（1，-$\sqrt{6}$）．
②当BA=BQ时，此时Q在x轴上，Q₃（1，0）．
③当QA=QB时，点Q在AB的垂直平分线上，
∵A（-1，0），B（0，-3），
∴直线AB解析式为y=-3x-3，线段AB的中点为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
设线段AB的中垂线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+m．
∴-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{6}$+m，
∴m=-$\frac{4}{3}$，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，与对称轴的交点Q₄（1，-1），
综上所述，满足条件的点Q坐标为（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，-1）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、三角形的面积．平行线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论，属于中考压轴题．