【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,E为BC的中点.⊙O与边BC相切于点E,并交边AD于点M、N,AM=3.
(1)求⊙O的半径;
(2)将矩形ABCD绕点E顺时针旋转,旋转角为(0°<≤90°).在旋转的过程中,⊙O和矩形ABCD的边是否能够相切,若能,直接写出相切时,旋转角的正弦值;若不能,请说明理由.
【答案】(1) ⊙O的半径为3.4.
【解析】
(1)如图①,连接EO并延长,交AD于点F,连接OM.根据矩形的性质和切线的性质求得FM=3,设⊙O的半径为r,则OM=OE=r,OF=5-r.在Rt△OFM中,根据勾股定理即可求得半径的长.
(2)如图②,A'B'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,易证∠POE=∠BEB',OQ=PB'=OE,由(1)得OQ=PB'=OE=3.4,PE=6-3.4=2.6,即sin∠BEB'=sin∠POE=;如图③,A'D'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,易证∠POE=∠BEB',OQ+OP=A'B',由(1)得OQ=OE=3.4,OP=5-3.4=1.6,根据勾股定理,可得PE=3,即sin∠BEB'=sin∠POE=.
解:(1)如图①,连接EO并延长,交AD于点F,连接OM.
∵ ⊙O与BC相切于点E,∴ OE⊥BC.
在矩形ABCD中,
AD∥BC,AD=BC=12,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴ 四边形ABEF和四边形DCEF是矩形.
∴ AF=BE,DF=CE,EF=AB=5.
∵ BE=CE,∴ AF=DF.
∵ OE⊥BC,AD∥BC,∴ OF⊥AD.∴ MF=NF.
∵ AF=6,AM=3,∴ FM=3.
设⊙O的半径为r,则OM=OE=r,OF=5-r.
在Rt△OFM中,根据勾股定理,得32+(5-r)2=r2.
解这个方程,得r=3.4.
即⊙O的半径为3.4.
(2),.
如图②,A'B'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,
∵∠BEO=90°,OP⊥B'E
∴∠BEB'+∠PEO=90°,∠POE+∠PEO=90°
∴∠POE=∠BEB',OQ=PB'=OE,
由(1)得OQ=PB'=OE=3.4,PE=6-3.4=2.6,即sin∠BEB'=sin∠POE=;
如图③,A'D'与⊙O相切,切点为Q,此时旋转角为∠BEB',作OP⊥B'E,连接OQ,OE,
∵∠BEO=90°,OP⊥B'E
∴∠BEB'+∠PEO=90°,∠POE+∠PEO=90°
∴∠POE=∠BEB',OQ+OP=A'B',由(1)得OQ=OE=3.4,OP=5-3.4=1.6,根据勾股定理,可得PE=3,即sin∠BEB'=sin∠POE=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,E是BC边上的一个动点,DF⊥AE,垂足为点F,连结CF
(1)若AE=BC
①求证:△ABE≌△DFA;②求四边形CDFE的周长;③求tan∠FCE的值;
(2)探究:当BE为何值时,△CDF是等腰三角形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“淮南牛肉汤”是安徽知名地方小吃.某分店经理发现,当每碗牛肉汤的售价为6元时,每天能卖出500碗;当每碗牛肉汤的售价每增加0.5元时,每天就会少卖出20碗,设每碗牛肉汤的售价增加元时,一天的营业额为元.
(1)求与的函数关系式(不要求写出的取值范围);
(2)考虑到顾客可接受价格元/碗的范围是,且为整数,不考虑其他因素,则该分店的牛肉汤每碗多少元时,每天的牛肉汤营业额最大?最大营业额是多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为考察甲、乙两种农作物的长势,研究人员分别抽取了6株苗,测得它们的高度(单位:cm)如下:
甲:98,102,100,100,101,99;乙:100,103,101,97,100,99.
(1)你认为哪种农作物长得高一些?说明理由;
(2)你认为哪种农作物长得更整齐一些?说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD,AC平分∠BAD.
(1)给出下列四个条件:①AB=AD,②OB=OD,③∠ACB=∠ACD,④AD∥BC,上述四个条件中,选择一个合适的条件,使四边形ABCD是菱形,这个条件是(填写序号);
(2)根据所选择的条件,证明四边形ABCD是菱形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3.点P是斜边AB上一点,过点P作PM⊥AB交边AC或BC于点M.又过点P作AC的平行线,与过点M的PM的垂线交于点N.设边AP=x,△PMN与△ABC重合部分图形的周长为y.
(1)AB= .
(2)当点N在边BC上时,x= .
(3)求y与x之间的函数关系式.
(4)在点N位于BC上方的条件下,直接写出过点N与△ABC一个顶点的直线平分△ABC面积时x的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】海静中学开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动,围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中,你最喜爱哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)求在被调查的学生中,最喜爱教师职业的人数,并补全条形统计图;
(3)若海静中学共有1500名学生,请你估计该中学最喜爱律师职业的学生有多少名?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC边在x轴正半轴上,中线BD的反向延长线交y轴负半轴于点E.双曲线y=一条分支经过点A,若S△BEC=4,则k等于( )
A. 4B. 8C. 12D. 16
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,如图,BD为⊙O的直径,点A、C在⊙O上并位于BD的两侧,∠ABC=45°,连结CD、OA并延长交于点F,过点C作⊙O的切线交BD延长线于点E.
(1)求证:∠F=∠ECF;
(2)当DF=6,tan∠EBC=,求AF的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com