Question

【题目】我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理的逆命题也是真命题．

（1）请你写出这个定理的逆命题是________；

（2）下面我们来证明这个逆命题：如图，CD是△ABC的中线，CD＝AB．求证：△ABC为直角三角形．请你写出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）证明见解析．

【解析】

（1）直接得出它的逆命题；

（2）先判断出∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，最后用三角形的内角和定理，即可求出∠A+∠B＝90°，即可得出结论．

解：（1）∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，

∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，

故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

（2）∵CD是△ABC的中线

∴AD＝BD＝AB，

∵CD＝AB，

∴AD＝CD＝BD

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，

在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°

∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，

∴△ABC为直角三角形．