Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）根据运动表示出OP=2t，CQ=10-t，判断出Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；
（3）分三种情况用平面坐标系内，两点间的距离公式计算即可，

解答 解：（1）∵直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，
∴A（5，0），B（0，10），
∵抛物线过原点，
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx，
∵抛物线过点A（5，0），C（8，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b=0}\\{64a+8b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{6}}\\{b=-\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x，
∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），
∴AB²=5²+10²=125，BC²=8²+（10-4）²=100，AC²=4²+（8-5）²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
（2）如图1，

当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10-t时，
由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，
在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=OA}\\{PA=QA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP=CQ，
∴2t=10-t，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴当运动时间为$\frac{10}{3}$时，PA=QA；
（3）存在，
∵y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x，
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
∵A（5，0），B（0，10），
∴AB=5$\sqrt{5}$
设点M（$\frac{5}{2}$，m），
①若BM=BA时，
∴（$\frac{5}{2}$）²+（m-10）²=125，
∴m₁=$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$，m₂=$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$，
∴M₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$），M₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$），
②若AM=AB时，
∴（$\frac{5}{2}$）²+m²=125，
∴m₃=$\frac{5\sqrt{19}}{2}$，m₄=-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$，
∴M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），M₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），
③若MA=MB时，
∴（$\frac{5}{2}$-5）²+m²=（$\frac{5}{2}$）²+（10-m）²，
∴m=5，
∴M（$\frac{5}{2}$，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
∴点M的坐标为：M₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{20+5\sqrt{19}}{2}$），M₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{20-5\sqrt{19}}{2}$），M₃（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），M₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{5\sqrt{19}}{2}$），

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的全等的性质和判定，等腰三角形的性质，解本题的关键是分情况讨论，也是本题的难点．