Question

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AE=6，CE=2$\sqrt{3}$．
①求⊙O的半径
②求线段CE，BE与劣弧$\widehat{BC}$所围成的图形的面积（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，先根据切线的性质得∠BAD=90°，再根据平行线的性质，由OD∥BC得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，则∠1=∠2，接着证明△AOD≌△COD，得到∠OCD=∠OAD=90°，于是可根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；
（2）①设半径为r，则OE=AE-OA=6-r，OC=r，在Rt△OCE中利用勾股定理得到r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，解得r；
②利用正切函数求出∠COE=60°，然后根据扇形面积公式和S_阴影部分=S_△COE-S_扇形BOC进行计算即可．

解答 解：（1）连结OC，如图，
∵AD为⊙O的切线，
∴AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵OD∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OB=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△OCD和△OAD中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{∠1=∠2}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COD（SAS）；   
∴∠OCD=∠OAD=90°，
∴OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）①设半径为r，则OE=AE-OA=6-r，OC=r，
在Rt△OCE中，∵OC²+CE²=OE²，
∴r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，解得r=2，
①∵tan∠COE=$\frac{CE}{OC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠COE=60°，
∴S_阴影部分=S_△COE-S_扇形BOC
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$
=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．