Question

如图，在直角坐标系内有点P（1，1）、点C（1，3）和二次函数y=-x²．
（1）若二次函数y=-x²的图象经过平移后以C为顶点，请写出平移后的抛物线的解析式及一种平移的方法；
（2）若（1）中平移后的抛物线与x轴交于点A、点B（A点在B点的左侧），求cos∠PBO的值；
（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，利用顶点式解析式写出平移后的抛物线解析式即可，根据顶点从坐标原点到点C写出平移方法；
（2）令y=0，求出点A、B的横坐标，过点P作PM⊥x轴于点M，从而求出BM、PM的长度，再根据勾股定理求出PB的长度，最后根据余弦的定义列式求解即可；
（3）存在．根据互相垂直平分的四边形是平行四边形，可以证明当点D为抛物线与y轴的交点时，四边形OPCD正好是平行四边形．
解答：解：（1）平移后以C为顶点的点抛物线解析式为y=-（x-1）²+3，
所以一种移动方式是将y=-x²向右平移一个单位长度，再向上平移三个单位长度；

（2）由（1）知移动后的抛物线解析式为y=-（x-1）²+3=x²+2x+2．
令-x²+2x+2=0，
解出x₁=1-，x₂=1+，
连接PB，过点P作PM⊥x轴于点M，
∴BM=，PM=1，
根据勾股定理，PB===2，
∴cos∠PBO==；

（3）存在这样的点D．
理由如下：欲使OC与PD互相平分，
只要使四边形OPCD为平行四边形，
由题设知，PC∥OD，
又PC=2，PC∥y轴，
∵点D在y轴上，
∴OD=2，
即D（0，2）．
又点D（0，2）在抛物线y=-x²+2x+2上，
故存在点D（0，2），
即OD与PC平行且相等，使线段OC与PD相互平分．
点评：本题综合考查了二次函数的问题，有平移变换的性质，抛物线与y轴的交点问题，勾股定理，余弦的定义，平行四边形的性质，综合性较强但难度不大，计算后利用数据的关系得解比较巧妙．