Question

20、小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i²=-1，那么x²=i²，则x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
（1）据此可知：i³=i²•i=-i，i⁴=

1

，i⁴²=

-1

；
（2）解方程：x²-2x+2=0（根用i表示）．

Answer 1

分析：（1）根据题中规律可知i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1；i⁵=i，i⁶=-1可以看出4个一次循环，据此即可求解；
（2）首先把方程移项变形为，（x-1）²=-1的形式，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．

解答：解：（1）1，-1
（2）x²-2x+1=-1，（x-1）²=-1
x-1=±i
x=1±i，∴x₁=1+i，x₂=1-i．

点评：本题考查了利用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．