Question

（2012•昆山市二模）如图，直线l的解析式为y=

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x，⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，点P在x轴上运动，过点P且与直线l平行（或重合）的直线与⊙O有公共点，则点P的横坐标为整数的点的个数有

5

个．

Answer 1

分析：由直线l的解析式的特点，得出∠1的度数为30°，然后抓住两个特殊情况考虑：当过点P与直线l平行，且与圆O相切时，切点在第二象限时，如图所示，设切点为E，连接OE，利用切线的性质得到OE与EP垂直，由两直线平行同位角相等得到∠EPO的度数为30°，在直角三角形POE中，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出OP的长，得到此时P的坐标；当过点P与直线l平行，且与圆O相切时，切点在第四象限时，如图所示，设切点为F，同理求出此时P的坐标，进而根据题意得出过点P且与直线l平行（或重合）的直线与圆O有公共点时P横坐标的范围，在范围中找出点P的横坐标为整数的点的个数即可．

解答：解：∵直线l的解析式为y=

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x，
∴∠1=30°，
当过点P且与直线l平行的直线与圆O相切，且切点在第二象限时，如图所示，

此时直线PE与圆O相切，切点为点E，
∵直线l∥PE，∠1=30°，
∴∠EPO=30°，
在Rt△PEO中，OE=1，
可得OP=2OE=2，又P在x轴负半轴上，
∴此时P坐标为（-2，0）；
当过点P且与直线l平行的直线与圆O相切，且切点在第四象限时，如图所示，
此时直线PF与圆O相切，切点为点F，
∵直线l∥PF，∠1=30°，
∴∠FPO=30°，
在Rt△PFO中，OF=1，
可得OP=2OF=2，又P在x轴正半轴上，
∴此时P的坐标为（2，0），
综上，满足题意的点P横坐标p的范围是-2≤p≤2，
则点P的横坐标为整数的点的个数有-2，-1，0，1，2，共5个．
故答案为：5

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：直线倾斜角与直线解析式的关系，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，根据题意得出直线l与x轴的夹角是解本题的突破点．