Question

如图，己知⊙O_l与⊙O₂外切于点P，A在⊙O_l上，AC切⊙O₂于点C，交⊙O₁于点B，AP的延长线交⊙O₂于点D．
（1）求证：PC平分∠BPD；
（2）求证：PC²=PB•PD；
（3）当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为2cm、3cm时，sin∠BAP的值是多少？当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP的值是多少？分析sin∠BAP值的变化，你能发现什么规律？请尝试证明或否定你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由∠ABP=∠AC⊙O₂=90°?PB∥O₂C?∠BPC=∠PC⊙O₂，O₂C=O₂P?∠O₂PC=∠O₂CP，∠O₂PC=BPC，
（2）求出△PBC∽△PCD即可得．
（3）由图可知sin∠BAP=

CO2

AP+PO2

，则当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为2cm、3cm时，当⊙O₁、⊙O₂的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP的值均可求．由此易得sin∠BAP=

CO2

AO2

=

R

2r+R

．

解答：（1）证明：连接CO₂、CD，
∵AC是⊙O₂的切线，AP是圆O₁的直径，
∴∠ABP=∠AC⊙O₂=90°，∴PB∥O₂C．
∴∠BPC=∠PCO₂，
∵O₂C=O₂P，∴∠O₂PC=∠O₂CP，
∴∠O₂PC=BPC，即PC平分∠BPD．

（2）证明：∵PC平分∠BPD，∠PBC=∠PCD，
∴△PBC∽△PCD．
∴

PB

PC

=

PC

PD

．
∴PC²=PB•PD．

（3）解：当⊙O₁与⊙O₂的半径分别为2cm、3cm时，sin∠BAP=

3

7

当⊙O_l与⊙O₂的半径分别为4cm、6cm时，sin∠BAP=

3

7

．
当⊙O_l与⊙O₂的半径之比为定值时，sin∠BAP的值唯一确定，
显然

R

r

的值唯一确定sin∠BAP的值．
sin∠BAP=

CO2

AO2

=

R

2r+R

．

点评：本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直径，平行线的判定和性质，等边对等角，正弦的概念求解．