练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    1．如图①，已知一条直线过点（0，4），与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是-2．
    （1）求这条直线的函数解析式及点B的坐标．
    （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
    （3）如图②，过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3PM的值最大？最大值是多少？

    分析 （1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；
    （2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，然后分若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；
    （3）设M（a，$\frac{1}{4}$a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=$\frac{1}{4}$a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x=$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，从而得到MN+3PM=-$\frac{1}{4}$a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．

    解答 解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，
    ∴y=$\frac{1}{4}$×（-2）2=1，A点的坐标为（-2，1），
    设直线的函数关系式为y=kx+b，
    将（0，4），（-2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
    ∴直线y=$\frac{3}{2}$x+4，
    ∵直线与抛物线相交，
    ∴$\frac{3}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$x2，
    解得：x=-2或x=8，
    当x=8时，y=16，
    ∴点B的坐标为（8，16）；

    （2）如图1，连接AC，BC，

    ∵由A（-2，1），B（8，16）可求得AB2=325．
    设点C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，
    BC2=（m-8）2+162=m2-16m+320，
    ①若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2-16m+320，
    解得：m=-$\frac{1}{2}$；
    ②若∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2-16m+320，
    解得：m=0或m=6；
    ③若∠ABC=90°，则AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2-16m+320+325，
    解得：m=32；
    ∴点C的坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），（0，0），（6，0），（32，0）

    （3）设M（a，$\frac{1}{4}$a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，

    在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a2+1，
    又∵点P与点M纵坐标相同，
    ∴$\frac{3}{2}$x+4=$\frac{1}{4}$a2，
    ∴x=$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
    ∴点P的横坐标为$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
    ∴MP=a-$\frac{{a}^{2}-16}{6}$，
    ∴MN+3PM=$\frac{1}{4}$a2+1+3（a-$\frac{{a}^{2}-16}{6}$）=-$\frac{1}{4}$a2+3a+9，
    ∴当a=-$\frac{3}{2×（-\frac{1}{4}）}$=6，
    又∵2≤6≤8，
    ∴取到最大值18，
    ∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．

    点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是a，数据y1，y2，y3，…，yn的平均数是b，探讨：
    （1）数据x1+x2+…+xn+y1+y2+…+yn的平均数；
    （2）数据x1+10，x2+10，…，xn+10的平均数；
    （3）数据2x1+3y1，2x2+3y2，…，2xn+3yn的平均数；
    （4）由上面的探讨，总结出一般规律．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数（　　）
    A．50°B．40°C．30°D．25°

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    9．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断AB∥CD的是（　　）
    A．∠1=∠2B．∠A=∠DCEC．∠3=∠4D．∠A+∠ACD=180°

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    16．如图1，在正方形ABCD的外侧作两个等边三角形ADE和DCF，连结AF、BE．
    （1）请判断：AF与BE的数量关系是AF=BE，位置关系是AF⊥BE；
    （2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
    （3）若△ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请在备用图中画出一个符合要求的示意图，同时写出你的判断，并加以证明．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    6．以下说法正确的是（　　）
    A．无限小数都是无理数B．无限不循环小数是无理数
    C．无理数是带根号的数D．分数是无理数

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    13．在我们常见的英文字母中，存在着同位角、内错角、同旁内角的现象．在下列几个字母中，不含同旁内角现象的字母是（　　）
    A．EB．FC．ND．H

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    10．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2017的横坐标是（　　）
    A．（$\sqrt{3}$）2015B．-（$\sqrt{3}$）2015C．-（$\sqrt{3}$）2016D．（$\sqrt{3}$）2016

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=3$\sqrt{3}$-3，CD∥AB，并与弧AB相交于点M、N．
    （1）求线段OD的长；
    （2）若sin∠C=$\frac{1}{2}$，求弦MN的长；
    （3）在（2）的条件下，求优弧MEN的长度．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案