Question

已知，如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=5，P从D出发沿射线DA运动，且P的速度为每秒1个单位长度，设P的运动时间为t，△PBC的面积为S．
（1）写出当0≤t≤5时，S与t的函数关系式．
（2）是否存在时刻t使△PBC的周长最小？若存在，在图中画出P的位置（只需标明数量关系，不要求证明），并求出t取何值时，△PBC的周长最小；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△PBC为直角三角形，请写出推理过程（利用图2解题）．

Answer 1

（1）解：S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP，
=（AB+CD）×AD-AB×AP-CD×DP，
=×（3+2）×5-×3×（5-t）-×2×t，
=t+5，
即当0≤t≤5时，S与t的函数关系式是s=t+5．

（2）解：存在时刻t使△PBC的周长最小，如图2所示：
作B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，此时△PBC的周长最小，即存在时刻t使△PBC的周长最小，
∵AB∥CD，
∴△CDP∽△EAP，
∴=，
∴=，
解得：t=2，
即当t=2时，△PBC的周长最小．

（3）解：要△PBC为直角三角形，只有∠BPC=90°一种情况，
∵∠BPC=∠BAD=∠CDA=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=180°-90°=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∵∠BAD=∠CDA，
∴△ABP∽△DPC，
∴=，
∴=，
解得：t₁=2，t₂=3，
答：当t是2或3时，△PBC是直角三角形．
分析：（1）分别求出△ABP、△CDP、梯形ABCD的面积，再根据图形得出S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP代入求出即可；
（2）要使△PBC的周长最小，因为BC的值确定，只要PC+PB最小即可，作B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则此时△PBC的周长最小，根据三角形相似得出比例式，代入即可求出t的值；
（3）求出∠BAD=∠CDA=90°，∠ABP=∠DPC，证△ABP∽△DPC，得出比例式，代入即可求出t．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形性质，三角形的面积，最短路线问题的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．