Question

（2009•无锡一模）已知：如图，抛物线y=x²+bx+c交y轴于点C，过抛物线上一点A（-3，-）作AM∥x轴，交抛物线于点B，交y轴于点M，连接AC、BC．
（1）若S_△ABC=2S_△BMC，求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）若P为（1）中的抛物线上的任一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，问：是否存在这样的点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等高三角形的面积比等于底边比可得出AB=2BM，即AM=3BM，由此可得出B点的坐标为（-1，-），然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出这个二次函数的解析式．
（2）若使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是AB平行且相等于PQ，因此PQ=AB=2，即P点的横坐标的绝对值为2，然后将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的值．
解答：解：（1）∵S_△ABC=2S_△BMC
∴AB=2BM
∴AB=AM=×3=2
∴B（-1，-）
把A、B点的坐标代入y=x²+bx+c，得：，
解得，
∴y=x²+2x-2．

（2）∵AB⊥y轴，PQ⊥y轴
∴AB∥PQ
∵AB、PQ为顶点的四边形是平行四边形．
∴PQ=AB=2
令x=2，y=y=×2²+2×2-2=4
∴P₁（2，4）
令x=-2，y=y=×（-2）²+2×（-2）+-4
∴P₂（-2，-4）．
点评：本题考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、平行四边形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力．