Question

【题目】如图①，△ABC为等腰直角三角形, △ABD为等边三角形，连接CD.

（1）求∠ACD的度数；

（2）如图①，作∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE=AE+CE；

（3）如图②，在（2）的条件下，M为线段BC右侧一点，满足∠CMB=60°，求证：ME平分∠CMB.

Answer 1

【答案】(1)15°;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）由题意可得∠BAC=90°,AB=AC,∠BAD=60°,AB=AD,于是可证得∠CAD=150°,AC=AD,故可求∠ACD的度数；

（2）在ED截取EF=AE，连接AF，证明△AEF为等边三角形,再证△ADF△AEC，即可得出结论；

（3）连接EB，作EG⊥BM于点G，EH⊥MC交MC的延长线于点H.证明△ABE△AEC和△BEG△HEC，于是可得EG=EH，根据角平分线的判定定理即可证明ME平分∠CMB.

解：（1）如图①，

∵△ABC为等腰直角三角形,

∴∠BAC=90°,AB=AC,

∵△ABD为等边三角形,

∴∠BAD=60°,AB=AD,

∴∠CAD=150°,AC=AD,

∴∠ACD==15°,

（2）在ED截取EF=AE，连接AF，

∵AE平分∠BAC，∠BAC=90°,

∴∠EAC=45°，

∵∠ACD=15°，

∴∠DEA=45°+15°=60°，

∵EF=AE，

∴△AEF为等边三角形,

∴AF=AE，∠FAE=60°，

∴∠FAD=150°-60°-45°=45°，

∴∠FAD=∠EAC，

在△ADF和△AEC中

，

∴△ADF△AEC，

∴DF=CE，

∴DE=DF+EF=CE+AE，

（3）连接EB，作EG⊥BM于点G，EH⊥MC交MC的延长线于点H，

由（1）（2）可知在△ABE和△AEC中，

∴△ABE△AEC，

∴BE=CE，∠AEB=∠AEC=120°，

∴∠BEC=360°-120°-120°=120°，

∵在四边形GEHM中，∠CMB=60°，EG⊥BM，EH⊥MC，

∴∠GEH=360°-60°-90°-90°=120°，

∴∠GEH=∠BEC，

∴∠CEH=∠BEG，

在△BEG和△HEC中，

∴△BEG△HEC，

∴EG=EH，

∴EM平分∠CMB.