Question

20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，顶点为M，对称轴交抛物线y=（4-a）x²于点B，连接OB，AB，OM，AM，四边形OMAB面积为s．
（1）试说明a=2时，四边形OMAB是菱形．
（2）当a的值分别取1，2，3时，分别计算s的值，将其填入如表

a	1	2	3
s

（3）将抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）改为抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4），其他条件不变，当四边形OMAB为正方形时，a=2，m=$\frac{1}{2}$．
（4）将抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）改为抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4），其他条件不变，s=4m³（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，可求得点A的坐标，继而求得对称轴，则可求得点M与点B的坐标，继而证得结论；
（2）分别求得当a的值分别取1，2，3时，B与M的坐标，即可求得答案；
（3）由抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，首先可求得点A的坐标，继而求得对称轴，则可求得点M与点B的坐标，由四边形OMAB为正方形，可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}=（4-a）{m}^{2}}\\{2m=2a{m}^{2}}\end{array}\right.$，继而求得答案；
（4）结合（2）与（3），即可求得答案．

解答 解：（1）设OA与BM交于点C，
∵a=2，
∴抛物线的解析式为：y=2x（x-2）（0＜a＜4），
∵其与x轴交于O，A两点，
∴O（0，0），A（2，0），
∴对称轴为：直线x=1，
∴顶点M的坐标为：（1，-2）
∵a=2，
∴y=2x²，
∵对称轴交抛物线y=（4-a）x²于点B，
∴y=2，
∴点B的坐标为：（1，2）；
∴OC=AC=1，BC=MC=1，
∴四边形OMAB是平行四边形，
∵OA⊥BM，
∴四边形OMAB是菱形；

（2）当a=1时，M的坐标为：（1，-1），点B的坐标为：（1，3），S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1=4；
当a=2时，M的坐标为：（1，-2），点B的坐标为：（1，2），S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×2=4；
当a=3时，M的坐标为：（1，-3），点B的坐标为：（1，1），S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3=4；
故答案为：4，4，4；

（3）∵抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，
∴点A的坐标为：（0，2m），
∴对称轴为：直线x=m，
∴顶点M的坐标为：（m，-am²），
则点B的坐标为：（m，（4-a）m²），
若四边形OMAB为正方形，则$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}=（4-a）{m}^{2}}\\{2m=2a{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
故答案为：2，$\frac{1}{2}$；

（4）由（3）得：S=S_△OAB+S_△OAM=$\frac{1}{2}$OA•BC+$\frac{1}{2}$OA•CM=$\frac{1}{2}$×2m×（4-a）m²+$\frac{1}{2}$×2m×am²=4m³．
故答案为：4m³．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了二次函数与x轴的交点问题、二次函数的性质以及菱形的判定、正方形的性质等知识．注意求得A的坐标与对称轴是解此题的关键．