Question

12．如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．
（1）若CD=2$\sqrt{3}$，BP=4，求⊙O的半径；
（2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理求得PC，连接OC，根据勾股定理求得即可；
（2）求得△PBC∽△BFA，根据相似三角形对应角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可证得结论；
（3）通过证得AE=BF，AE∥BF，从而证得四边形AEBF是平行四边形．

解答 （1）解：CD⊥AB，
∴PC=PD=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
连接OC，设⊙O的半径为r，则PO=PB-r=4-r，
在RT△POC中，OC²=OP²+PC²，
即r²=（4-r）²+（$\sqrt{3}$）²，解得r=$\frac{19}{8}$．
（2）证明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，
∴∠ABF=∠CPB，
∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠CPB=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（3）四边形AEBF是平行四边形；
理由：解：如图2所示：∵CD⊥AB，垂足为P，
∴当点P与点O重合时，CD=AB，
∴OC=OD，
∵AE是⊙O的切线，
∴BA⊥AE，
∵CD⊥AB，
∴DC∥AE，
∵AO=OB，
∴OC是△ABE的中位线，
∴AE=2OC，
∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．
∴∠D=∠F，
∴CD∥BF，
∵AE∥BF，
∵OA=OB，
∴OD是△ABF的中位线，
∴BF=2OD，
∴AE=BF，
∴四边形AEBF是平行四边形．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．