Question

18．设a₁=4²-2²，a₂=6²-4²，a₃=8²-6²，a₄=10²-8²…（n为大于0的自然数）．
（1）探究a_n（n≥1，且n为整数）是否为4的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则这个数是“完全平方数”，试找出a₁，a₂，…，a_n，这一列数中从小到大排列的前3个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a_n为完全平方数（不必说明理由）

Answer 1

分析 （1）首先观察a₁=4²-2²，a₂=6²-4²，a₃=8²-6²，a₄=10²-8²…，即可求得a_n=（2n+2）²-（2n）²；再利用平方差公式即可求得a_n=4（2n+1），即第n个数a_n的值是n的4倍；
（2）根据从小到大排列的前3个完全平方数是36，100，324，得出n为4的奇数倍时，a_n为完全平方数．

解答 解：（1）由题意可得：a_n=（2n+2）²-（2n）²=4（2n+1），
故a_n（n≥1，且n为整数）是4的倍数，
文字语言：两个连续偶数的平方差是4的倍数；

（2）这一列数中从小到大排列的前3个完全平方数是36，100，324；
n为4的奇数倍时，a_n为完全平方数．

点评 此题考查了完全平方数、数字的规律性问题，解题的关键是找到规律：a_n=（2n+2）²-（2n）²．