Question

关于x的二次函数y=-x²+（k²-4）x+2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面建立直角坐标系画出函数的草图；
（2）设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直于x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过点D作DC垂直于x轴于点C，得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；
（3）当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形？若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为二次函数y=-x²+（k²-4）x+2k-2以y轴为对称轴，所以k²-4=0，即可解出k的值，求出抛物线解析式，并利用描点法画出图象；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，分矩形在x轴上方和矩形在x轴下方两种情况，根据矩形周长公式解答；
（3）假设能构成正方形，根据正方形边长相等，列等式解出x的值，若x＞0，则能构成正方形，若x＜0，则不能构成正方形．
解答：解：
（1）据题意得：k²-4=0，
∴k=±2．
当k=2时，2k-2=2＞0．
当k=-2时，2k-2=-6＜0（2分）
又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴k=2．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2．（1分）

（2）解：令-x²+2=0，得x=±．
当0＜x＜时，A₁D₁=2x，A₁B₁=-x²+2，
∴l=2（A₁B₁+A₁D₁）=-2x²+4x+4（2分）
当x＞时，A₂D₂=2x．
A₂B₂=-（-x²+2）=x²-2．
∴l=2（A₂D₂+A₂B₂）=2x²+4x-4（2分）

（3）当0＜x＜时，令A₁B₁=A₁D₁，得x²+2x-2=0．
解得x=-1-（舍去），或x=-1+．
将x=-1+代入l=-2x²+4x+4，
得l=8-8（3分）
当x＞时，令A₂B₂=A₂D₂得：x²-2x-2=0，
解得x=1-（舍去），或x=1+．
代入l=2x²+4x-4，得L=8+8（3分）
综上，矩形ABCD能成为正方形，
且当x=-1时正方形的周长是8-8，
当x=+1时，周长为8+8（1分）．
点评：解答此题的关键是求出二次函数的解析式，利用解析式求出各点的坐标表达式，根据矩形或正方形的性质来解答．值得关注，（3）为探索性问题，有一定的开放性．