如图.平行四边形ABCD中.AB⊥AC.AB=1.BC=$\sqrt{5}$.对角线AC.BD相交于点O.将直线AC绕点O顺时针旋转.分别交BC.AD于点E.F．(1)证明:当∠AOF=90°时.四边形ABEF是平行四边形,(2)试说明在旋转过程中.AF与CE总保持相等,(3)在旋转过程中.四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能.请说明理由,如果能.说明理由并求出此时∠AOF度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当∠AOF=90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时∠AOF度数．

分析（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明．
（2）只要证明△AOF≌△COE即可．
（3）结论：四边形BEDF可能是菱形．根据菱形的对角线互相垂直即可解决问题．

解答（1）证明：当∠AOF=90°时，AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．

（2）证明：∵四边形ABEF是平行四边形，
∴AO=CO，AF∥EC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE．

（3）解：结论：四边形BEDF可能是菱形．
∵△AOF≌△COE，
∴OE=OF，
∴EF与BD互相平分，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{5-1}$=2，
∴OA=1=AB，
∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴当四边形BEDF是菱形时，∠AOF=45°．

点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

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（1）设从B市运往C市机器x台，填写下表．
表一：

B市运往C市机器的数量/台	1	x
B市运往D市机器的数量/台	5	6-x
A市运往C市机器的数量/台	9	10-x
A市运往D市机器的数量/台	3	2+x

表二：

B市运往C市机器的数量/台	1	x
B市运往C市机器的运费/元	300	300x
B市运往D市机器的运费/元	500	500（6-x）
A市运往C市机器的运费/元	400	400（10-x）
A市运往D市机器的运费/元	800	800（2+x）

（2）求使总运费最低的调运方案，最低总运费是多少？