Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y₂=x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）及直线y₂=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y₁≥y₂的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y₂=x+1于点B，点P在抛物线上，当S_△PAB≤4时，求点P的横坐标x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y₁≥y₂的x的取值范围；
（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S_△PAB≤4可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出x_P的取值范围．

解答：解：（1）∵抛物线与直线y₂=x+1的一个交点的横坐标为2，
∴交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）．
设抛物线的解析式为y₁=a（x-1）²+4，把交点坐标（2，3）代入得：
3=a（2-1）²+4，解得a=-1，
∴抛物线解析式为：y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）令y₁=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1，
即抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（-1，0），
在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如右图，
根据图象，可知使得y₁≥y₂的x的取值范围为：-1≤x≤2；
（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）．
令x=3，则y₂=x+1=3+1=4，
则点B坐标为B（3，4），
即AB=4，
设△PAB中，AB边上的高为h，则
h=|x_P-x_A|=|x_P-3|，
S_△PAB=

1

2

AB•h=

1

2

×4×|x_P-3|=2|x_P-3|．
∵S_△PAB≤4，
∴2|x_P-3|≤4，化简得：|x_P-3|≤2，
即-2≤x_P-3≤2，
解得：1≤x_P≤5，
又∵当x=3时A、B、P不能构成三角形，
∴x≠3，
∴当S_△PAB≤4时，点P的横坐标x的取值范围为1≤x_P≤5且x≠3．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积、解不等式（组）等知识点．题目难度不大，失分点在于第（3）问，点P在线段AB的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏．