Question

3．如图所示，在平面直角坐标系中，A、B两点分别是y轴、x轴上的两个动点，∠CAB=90°，AB=4，AC=3，当A、B两点在x、y轴的正半轴上运动时，OC的最大距离是$\frac{5+\sqrt{61}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求出AB的长，取AB的中点E，连接OE，CE，则O、C、E三点共线时OC最长，由直角三角形的性质求出OE的长，根据勾股定理求出CE的长即可．

解答 解：∵∠CAB=90°，AB=4，AC=3，
∴AB=$\sqrt{{AB}^{2}+{AC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
取AB的中点E，连接OE，CE，则O、C、E三点共线时OB最长，
∵点E时AB的中点，
∴OE=AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴CE=$\sqrt{{AC}^{2}+{AE}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{（\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{61}}{2}$，
∴OC_最长=OE+CE=$\frac{5}{2}$+$\frac{\sqrt{61}}{2}$=$\frac{5+\sqrt{61}}{2}$．
故答案为：$\frac{5+\sqrt{61}}{2}$．

点评 本题考查的是直角三角形斜边上的中线与勾股定理，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．