Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=-x-1与x轴交于点A，与y轴交于点B．点C为AB延长线上一点且BC=AB，抛物线y=ax²+bx-3过点A、点C．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求抛物线的解析式及顶点坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使得DA=DC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，则0=-x-1，得x=-2
∴A（-2，0）
令x=0，则y=-×0-1，得y=-1
∴B（0，-1）
过点C作CF⊥x轴于F，CF∥y轴
∵BC=AB
∴OF=OA=2，CF=2OB=2
∴C（2，-2）；

（2）∵A（-2，0），C（2，-2）在抛物线上
∴，解得
∴抛物线的解析式为：y=
∴y=
∴抛物线的顶点坐标为（，-）；

（3）存在
理由如下：
∵D点在抛物线的对称轴上，且DA=DC
∴D点为对称轴与线段AC的垂直平分线的交点
设线段AC的垂直平分线交x轴于E，则有△BOE∽△AOB
∴，得OE=
∴E（，0）
设直线BE的解析式为：y=kx+b，则有
得
∴直线BE的解析式为：y=2x-1
把x=代入y=2x-1得y=0
D（，0）．
分析：（1）由直线AB的解析式可以直接求出点A点B的坐标，再过点C作x轴的垂线，利用三角形相似可以求出C点的坐标．
（2）利用抛物线过A、C两点，代入解析式求出a、b的值就求出了解析式，再将解析式化为顶点式就求出了顶点坐标．
（3）由题意可知点D在AC地垂直平分线与对称轴的交点上，点B是AC的中点，过点B作BE⊥AC交x轴于点E，利用三角形相似可以求出E点的坐标，再求出BE的解析式，最后把对称轴代入BC的解析式就可以求出交点坐标D．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了求函数的解析式与坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的运用，垂直平分线的性质等多个知识点．