Question

26、附加题：
要将29个数学竞赛的名额分配给10所学校，每所学校至少要分到一个名额．
（1）试提出一种分配方案，使得分到相同名额的学校少于4所；
（2）证明：不管怎样分配，至少有3所学校得到的名额相同；
（3）证明：如果分到相同名额的学校少于4所，则29名选手至少有5名来自同一学校．

Answer 1

分析：（1）答案不唯一，只要保证分到相同名额的学校少于4所，10所学校的名额和等于29即可；
（2）假设没有3所学校得到相同的名额，可以用反证法进行分析证明；
（3）假设每所学校分得的名额都不超过4，可以运用反证法进行证明．

解答：解：（1）满足要求的分配方案有很多，如：学校对应的名额可以分别是：1，1，1，2，2，2，3，3，7，7；

（2）假设没有3所学校得到相同的名额，而每校至少要有1名，则人数最少的分配方案是：每两所学校一组依次各得1，2，3，4，5个名额，总人数为2（1+2+3+4+5）=30，但现在只有29个名额，故不管如何分配，都至少有3所学校分得的名额相同；

（3）假设每所学校分得的名额都不超过4，并且每校的名额不少于1，则在分到相同名额的学校少于4所的条件下，10所学校派出的选手数最多不会超过3×4+3×3+3×2+1×1=28，这与选手总数是29矛盾，从而至少有一所学校派出的选手数不小于5．

点评：解决问题的关键是读懂题意，能够运用反证法进行分析说明．