Question

对于方程（1+a）x⁴+x³-（3a+2）x²-4a=0，
求证：①对于任何实数a都有一个确定的实数是它的解，求出这个实数解．
②存在一实数x，使得不论a为任何实数，x都不是这个方程的解．

Answer 1

分析：（1）利用逆向思维，由对于任何实数a都有一个确定的实数是它的解，可以将原方程变形为关于a的一元一次方程，通过因式分解即可求得答案；
（2）根据（1），由当（x²+1）（x-2）=0时，原方程无解，即可求得答案．

解答：解：（1）∵（1+a）x⁴+x³-（3a+2）x²-4a=0，
∴（x⁴-3x²-4）a+（x⁴+x³-2x²）=0，
即：（x²+1）（x+2）（x-2）a+x²（x+2）（x-1）=0，
∴（x+2）[（x²+1）（x-2）a+x²（x-1）]=0，
∴x+2=0或（x²+1）（x-2）a+x²（x-1）=0，
∵对于任何实数a都有一个确定的实数是它的解，
∴x=-2，
∴这个实数解为：x=-2；

（2）根据（1）可得：（x²+1）（x-2）a+x²（x-1）=0，
即（x²+1）（x-2）a=-x²（x-1），
∴当（x²+1）（x-2）=0时，原方程无解，
即当x=2时，不论a为任何实数，x都不是这个方程的解．

点评：此题考查了一元一次方程的求解方法，因式分解，以及方程解的情况的分析．此题还考查了学生的逆向思维能力，解题的关键是将原方程变形为关于a的一元一次方程，通过因式分解求解．