如图.设抛物线C1:y=a(x+1)2-5.C2:y=-a(x-1)2+5.C1与C2的交点为A.B.点A的坐标是(2.4).点B的横坐标是-2．(1)求a的值及点B的坐标,(2)点D在线段AB上.过D作x轴的垂线.垂足为点H.在DH的右侧作正三角形DHG．记过C2顶点M的直线为l.且l与x轴交于点N．①若l过△DHG的顶点G.点D的坐标为(1.2).求点N的横坐标,②若l与△DHG的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，设抛物线C₁：y=a（x+1）²-5，C₂：y=-a（x-1）²+5，C₁与C₂的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记过C₂顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．
①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；
②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．

【答案】分析：（1）由于两个抛物线同时经过A、B两点，将A点坐标代入两个抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B点的坐标．
（2）①已知了点D的坐标，即可求得正△DGH的边长，过G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的长；根据（1）题所求得的C₂的解析式，即可求出点M的坐标，也就能得到ME、MH的长，易证△MEG∽△MHN，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N点的横坐标．
②求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：
①当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G作GQ⊥x轴于Q，过点M作MF⊥x轴于F，设出点N的横坐标，然后分别表示出NQ、NF的长，通过证△NQG∽△NFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；
②当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同①．
解答：

解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C₁上，
∴把点A坐标代入y=a（x+1）²-5得a=1，
∴抛物线C₁的解析式为y=x²+2x-4，
设B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；

（2）①如图
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH=5，
过点G作GE⊥DH，垂足为E，
由△DHG是正三角形，可得EG=

，EH=1，
∴ME=4，
设N（x，0），则NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得

，
∴

，
∴x=

，
∴点N的横坐标为

；
②当点D移到与点A重合时，如图，

直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
设N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=

HG=2，HQ=

，
∴OQ=OH+HQ=2+2

，
∴G（

，2），
∴NQ=

，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴

，
∴

，
当点D移到与点B重合时，如图：
直线l与DG交于点D，即点B，

此时点N的横坐标最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
设N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴

，
∴

，
∴点N横坐标的范围为

≤x≤

且x≠0．
点评：此题是二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．

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