如图1.已知矩形ABED.点C是边DE的中点.且AB=2AD．(1)判断△ABC的形状.并说明理由,(2)保持图1中△ABC固定不变.绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中(当垂线段AD.BE在直线MN的同侧).试探究线段AD.BE.DE长度之间有什么关系?并给予证明,(3)保持图2中△ABC固定不变.继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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22、如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

分析：（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可判断△ABC的形状；
（2）（3）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系．

解答：解：（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
在△ADC与△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，
∴△ADC≌△BEC，
∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．
∵AB=2AD=DE，DC=CE，
∴AD=DC，
∴∠DCA=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）DE=AD+BE．理由如下：
在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC-CE=BE-AD，
即DE=AD+BE．

（3）DE=BE-AD．理由如下：
在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC-CE=BE-AD，
即DE=BE-AD．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大．

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