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3.如图,取点A(0,-1)作等边三角形AOB(点B在第四象限),点C是x轴上一动点,作等边三角形BCD,当点D恰好落在抛物线y=$\frac{1}{2}$x2上时,点D的坐标为($\sqrt{3}$+1,2+$\sqrt{3}$),($\sqrt{3}-1$,2-$\sqrt{3}$).

分析 连接AD,根据等边三角形的性质得出OB=AB,BD=BC,∠ABO=∠DBC=60°,进而求得∠OBC=∠ABD,根据SAS证得△OBC≌△ABD,得出∠BAD=∠BOC=30°,即可证得直线AD的斜率为$\sqrt{3}$,即可得出直线AD的解析式,联立方程即可求得D的坐标.

解答 解:连接AD,
∵△AOB和△CBD是等边三角形,
∴OB=AB,BD=BC,∠ABO=∠DBC=60°,
∴∠ABO+∠OBD=∠DBC+∠OBD,
即∠OBC=∠ABD,
在△OBC和△ABD中,
$\left\{\begin{array}{l}{OB=AB}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$
∴△OBC≌△ABD(SAS),
∴∠BAD=∠BOC,
∵∠AOB=60°,
∴∠BOC=30°,
∴∠BAD=30°
∴∠OAD=30°
∴直线AD的斜率为$\sqrt{3}$,
∴直线AD的解析式为y=$\sqrt{3}$x-1,
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+1}\\{y=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-1}\\{y=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$,
∴D($\sqrt{3}$+1,2+$\sqrt{3}$),($\sqrt{3}-1$,2-$\sqrt{3}$)
故答案为($\sqrt{3}$+1,2+$\sqrt{3}$),($\sqrt{3}-1$,2-$\sqrt{3}$).

点评 本题考查了等边三角形的性质,三角形全等的判定和性质以及二次函数图象上点的坐标特征,求得直线AD的解析式是解题的关键.

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