Question

14．已知关于x的一元二次方程x²+2x+k-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于1的整数，求方程的根．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不等实数根可得b²-4ac＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据k为大于1的整数以及（1）的结论可得出k的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+2x+k-2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=2²-4（k-2）＞0，
即12-4k＞0，解得：k＜3．
故k的取值范围为k＜3．
（2）∵k为大于1的整数，且k＜3，
∴k=2．
将k=2代入原方程得：x²+2x=x（x+2）=0，
解得：x₁=0，x₂=-2．
故当k为大于1的整数，方程的根为x₁=0和x₂=-2．

点评 本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及用因式分解法解方程，解题的关键：（1）由根的情况得出关于k的一元一次不等式；（2）确定k的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．