Question

菱形ABCD中, AE⊥BC于E, 交BD于F点, 下列结论:
①BF为∠ABE的角平分线; ②DF＝2BF;
③2AB²=DF·DB;   ④sin∠BAE=.
其中正确的为                                    （　　）
A. ②③   B. ①②④        C. ①③④        C. ①④

Answer 1

C

解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴BF为∠ABE的角平分线，
故①正确；
②连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD，
∴当∠ABC=60°时，△ABC是等边三角形，
即AB=AC，
则DF=2BF，
∵∠ABC的度数不定，
∴DF不一定等于2BF；
故②错误；
③∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠FAD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD= DB，AD=AB，
∴∠AOD=∠FAD=90°，
∵∠ADO=∠FDO，
∴△AOD∽△FAD，
∴AD：DF=OD：AD，
∴AD²=DF?OD，
∴AB²=DF? DB，
即2AB²=DF?DB；
故③正确；
④连接CF，
在△ABF和△CBF中，

AB=CB ∠ABF=∠CBF BF=BF

，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，
在Rt△EFC中，sin∠ECF=
=，
∴sin∠BAE=．
故④正确．
故选C．