Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=

k

x

（k≠0）相交于A、D两点．其中D点的纵坐标为-4，直线y=ax+b与y轴相交于B点，作AC⊥y轴于点C，已知tan∠ABO=

1

2

，OB=OC=2．
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）求直线AB的解析式；
（3）连接OA、OD，求△AOD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正切的定义得tan∠ABO=

AC

BC

=

AC

4

=

1

2

，得到AC=2，则A点坐标为（-2，2），把A（-2，2）代入反比例函数y=

k

x

（k≠0）即可得到反比例函数的解析式；
（2）把A（-2，2），B（0，-2）代入一次函数y=ax+b（a≠0）得到关于a、b的方程组-2a+b=2，b=-2，解方程组即可确定直线AB的解析式；
（3）先确定D点坐标，然后根据S_△OAD=S_△OAB+S_△OBD，利用三角形的面积公式计算即可．

解答：解：（1）∵tan∠ABO=

1

2

，OB=OC=2，
∴tan∠ABO=

AC

BC

=

AC

4

=

1

2

，B点坐标为（0，-2），
∴AC=2，
∴A点坐标为（-2，2），
把A（-2，2）代入反比例函数y=

k

x

（k≠0）得，k=-4，
∴反比例函数的解析式为y=-

4

x

；

（2）B点坐标为（0，-2），
把A（-2，2），B（0，-2）代入一次函数y=ax+b（a≠0）得，
-2a+b=2，b=-2，解得a=-2，b=-2，
∴直线AB的解析式为y=-2x-2；

（3）如图，
∵D点的纵坐标为-4，
∴把y=-4代入y=-2x-2得，-4=-2x-2，解得x=1，
∴D点坐标为（1，-4），
∴S_△OAD=S_△OAB+S_△OBD
=

1

2

×2×2+

1

2

×2×1
=3．

点评：本题考查了反比例函数综合题：点在图象上，则点的横纵坐标满足图象的解析式；利用待定系数法求函数的解析式．也考查了一次函数以及三角形的面积公式．