Question

如图，?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD和∠ABC的平分线相交于点E．若?ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，则OE=

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,三角形中位线定理

专题：

分析：延长AE交BC于F，利用平行四边形的性质和已知条件可证明△ABF是等腰三角形，又可证明BE⊥AF，所以AE=EF，即E是AF中点，又因为O为AC中点，所以OE为△AFC的中位线，求出CF的长，即可求出OE的长．

解答：解：延长AE交BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠BAD和∠ABC的平分线相交于点E，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AE⊥BE，
∴AE=EF，
∴OE是△AFC的中位线，
∵?ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，
∴AB=3，AD=6，
∴CF=BC-BF=AD-AB=3，
∴OE=

1

2

CF=

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的判定和性质，题目牵扯到的知识点较多，综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线和灵活的运用平行四边形的各种性质．