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已知:如图, AF平分∠BACBCAF, 垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF AF相交于PM

(1)求证:AB=CD

(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由. 

解:(1)证明:∵AF平分∠BAC

    ∴∠CAD=∠DAB=BAC

DA关于E对称,∴EAD中点.

BCAD,∴BCAD的中垂线,∴AC=CD

在Rt△ACE和Rt△ABE中,注:证全等也可得到AC=CD

CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°, ∠CAD=∠DAB

∴∠ACE=∠ABE,∴AC=AB.  注:证全等也可得到AC=AB

AB=CD

(2)∵∠BAC=2∠MPC, 又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC=∠CAD

AC=CD,∴∠CAD=∠CDA,          ∴∠MPC=∠CDA.          

∴∠MPF=∠CDM.              

AC=ABAEBC,∴CE=BE.                    注:证全等也可得到CE=BE

AMBC的中垂线,∴CM=BM.                  注:证全等也可得到CM=BM

EMBC,∴EM平分∠CMB,(等腰三角形三线合一)

∴∠CME=∠BME.              注:证全等也可得到∠CME=∠BME

∵∠BME=∠PMF

∴∠PMF=∠CME,             

∴∠MCD=∠F(三角形内角和). 注:证三角形相似也可得到∠MCD=∠F

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•新区二模)在图形的全等变换中,有旋转变换,翻折(轴对称)变换和平移变换.一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.
(1)第一小组的同学发现,在如图1-1的矩形ABCD中,AC、BD相交于点O,Rt△ADC可以由Rt△ABC经过一种变换得到,请你写出这种变换的过程
将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC
将△ABC绕点O旋转180°后可得到△ADC


(2)第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图2-1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图2-2),这样能得到∠B′GC的大小,你知道∠B′GC的大小是多少吗?请写出求解过程.
(3)第三小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3-1的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图3-2.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15
15
,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

(4)探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:
如图4-1,已知AA′=BB′=CC′=2,∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°,请利用图形变换探究S△AOB′+S△BOC′+S△COA′
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的大小关系.

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科目:初中数学 来源: 题型:

在一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.

1.第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B'处(如图2),这样能得到∠B'GC的大小,你知道∠B'GC的大小是多少吗?请写出求解过程.

2.第二小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图4.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

3.探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:如图5,已知AA'=BB'=CC'=2,∠AOB'=∠BOC'=∠COA'=60°,请利用图形变换探究S△AOB'+S△BOC'+S△COA'与的大小关系.

 

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科目:初中数学 来源:2012届江苏江阴南菁中学九年级中考适应性训练数学试卷(带解析) 题型:解答题

在一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.
【小题1】第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B'处(如图2),这样能得到∠B'GC的大小,你知道∠B'GC的大小是多少吗?请写出求解过程.

【小题2】第二小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图4.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

【小题3】探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:如图5,已知AA'=BB'=CC'=2,∠AOB'=∠BOC'=∠COA'=60°,请利用图形变换探究S△AOB'+S△BOC'+S△COA'与的大小关系.

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年江苏省江阴市九年级5月中考适应性训练(二模)数学试卷(解析版) 题型:解答题

在一次数学活动课上,老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动.

(1)第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B'处(如图2),这样能得到∠B'GC的大小,你知道∠B'GC的大小是多少吗?请写出求解过程.

(2)第二小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图4.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

(3)探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:

如图5,已知AA'=BB'=CC'=2,∠AOB'=∠BOC'=∠COA'=60°,

请利用图形变换探究S△AOB'+S△BOC'+S△COA'与的大小关系.

 

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科目:初中数学 来源:2011-2012学年江苏江阴南菁中学九年级中考适应性训练数学试卷(解析版) 题型:解答题

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1.第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作:对折、展平,得折痕EF(如图1);再沿GC折叠,使点B落在EF上的点B'处(如图2),这样能得到∠B'GC的大小,你知道∠B'GC的大小是多少吗?请写出求解过程.

2.第二小组的同学,在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC,其中BA=BC,将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换,每次均移动AC的长度,得到了△CDE、△EFG和△GHI,如图4.已知AH=AI,AC长为a,现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形,已知这个新三角形面积小于15,请你帮助该小组求出a可能的最大整数值.

3.探究活动结束后,老师给大家留下了一道探究题:如图5,已知AA'=BB'=CC'=2,∠AOB'=∠BOC'=∠COA'=60°,请利用图形变换探究S△AOB'+S△BOC'+S△COA'与的大小关系.

 

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