【题目】如图①,已知AB∥CD,点E、F分别是AB、CD上的点,点P是两平行线之间的一点,设∠AEP=α,∠PFC=β,在图①中,过点E作射线EH交CD于点N,作射线FI,延长PF到G,使得PE、FG分别平分∠AEH、∠DFI,得到图②.
(1)在图①中,当α=20°,β=50°时,求∠EPF的度数;
(2)在(1)的条件下,求图②中∠END与∠CFI的度数;
(3)在图②中,当FI∥EH时,请求出α与β的数量关系.
【答案】(1)70°;(2)40°,80°;(3)α+β=90°.
【解析】
(1)由PM∥AB根据两直线平行,内错角相等可得∠EPM=∠AEP=20°,根据平行公理的推论可得PM∥CD,继而可得∠MPF=∠CFP=50°,从而即可求得∠EPF;
(2)由角平分线的定义可得∠AEH=2α=40°,再根据AD∥BC,由两直线平行,内错角相等可得∠END=∠AEH=40°,由对顶角相等以及角平分线定义可得∠IFG=∠DFG=β=50°,再根据平角定义即可求得∠CFI的度数;
(3)由(2)可得,∠CFI=180°-2β,由AB∥CD,可得∠END=2α,当FI∥EH时,∠END=∠CFI,据此即可得α+β=90°.
(1)∵PM∥AB,α=20°,
∴∠EPM=∠AEP=20°,
∵AB∥CD,PM∥AB,
∴PM∥CD,
∴∠MPF=∠CFP=50°,
∴∠EPF=20°+50°=70°;
(2)∵PE平分∠AEH,
∴∠AEH=2α=40°,
∵AD∥BC,
∴∠END=∠AEH=40°,
又∵FG平分∠DFI,
∴∠IFG=∠DFG=β=50°,
∴∠CFI=180°-2β=80°;
(3)由(2)可得,∠CFI=180°-2β,
∵AB∥CD,
∴∠END=∠AEN=2α,
∴当FI∥EH时,∠END=∠CFI,
即2α=180°-2β,
∴α+β=90°.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,B1(0,1),B2(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…,以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2,以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3,以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4,…,如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上,且BnBn+1的长度依次增加1个单位,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数). 那么A1的坐标为____________;An的坐标为_________(用含n的代数式表示).
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【题目】甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示,则下列说法中:
①甲队每天挖100米;
②乙队开挖两天后,每天挖50米;
③甲队比乙队提前3天完成任务;
④当x=2或6时,甲乙两队所挖管道长度都相差100米.
正确的有 . (在横线上填写正确的序号)
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【题目】已知点O为直线AB上一点,将直角三角板MON的直角顶点放在点O处,并在∠MON内部作射线OC.
(1)如图1,三角板的一边ON与射线OB重合,且∠AOC=150°.若以点O为观察中心,射线OM表示正北方向,求射线OC表示的方向;
(2)如图2,将三角板放置到如图位置,使OC恰好平分∠MOB,且∠BON=2∠NOC,求∠AOM的度数;
(3)若仍将三角板按照如图2的方式放置,仅满足OC平分∠MOB,试猜想∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】如图所示,可以自由转动的转盘被3等分,指针落在每个扇形内的机会均等.
(1)现随机转动转盘一次,停止后,指针指向2的概率为;
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏,若采用下列游戏规则,你认为对双方公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由.
游戏规则:随机转动转盘两次,停止后,指针各指向一个数字,若两数之积为偶数,则小明胜;否则小华胜.
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【题目】某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD,在课外活动时间测得下列数据:如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)1.2米.试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米).
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【题目】已知:如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B 求证:∠AED=∠ACB
证明:∵∠1+∠4=180°(平角定义)
∠1+∠2=180°(已知)
∴_____________( )
∴ ∥ ( )
∴∠3+∠ =180°( )
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠ +∠ =180°(等量代换)
∴ ∥ ( )
∴∠AED=∠ACB( ).
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【题目】已知:如图1,过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,CE,其中CE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图形;
(2)若∠PAB=16°,求∠ACF的度数;
(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FC之间的数量关系,并证明.
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【题目】Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图(1)所示,且∠α=50°,则∠1+∠2= °;
(2)若点P在边AB上运动,如图(2)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?说明理由.
(3)若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动(CE<CD),则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.
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