Question

1．如图甲所示，在边长为4cm的菱形ABCD中，∠BAD=60°，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，按照A→B→C的顺序匀速运动到C点停止，设运动时间为t秒，以点P为圆心，半径为r的圆随之运动，且半径r（cm）与时间t（s）的函数关系如图乙所示，当⊙P与对角线AC相切时，则运动时间t的值为$\frac{1}{2}$秒或$\frac{10}{7}$秒．

Answer 1

分析 先根据图乙得：0-1秒时，⊙P半径r不变都是1，1-2秒时，求出直线GH的关系式为：r=$\frac{1}{3}$t+$\frac{2}{3}$，根据菱形一个内角为60°得∠BAC=30°；
当⊙P与对角线AC相切时，分两种情况进行讨论，分别在AB和BC上与AC相切，根据直角三角形30°角的性质列式求出对应的t值．

解答 解：如图乙，设直线GH的解析式为：r=kt+b，
把G（1，1）、H（2，$\frac{4}{3}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{2k+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线GH的解析式为：r=$\frac{1}{3}$t+$\frac{2}{3}$（1≤t≤2），
当⊙P与对角线AC相切时，分两种情况：
①当点P在AB上与AC相切时，如图1，
设切点为E，连接P₁E，则P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AP1=2r=2，
∴t=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
②当点P在BC上与AC相切时，如图2，
设切点为F，连接P₂E，则P₂F⊥AC，P₂F=r，
则P₂C=2r，
∵P₂C=AB+BC-4t=8-4t，
则$\left\{\begin{array}{l}{2r=8-4t}\\{r=\frac{1}{3}t+\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：t=$\frac{10}{7}$，
综上所述：当⊙P与对角线AC相切时，则运动时间t的值为$\frac{1}{2}$秒或$\frac{10}{7}$秒．

点评 本题是函数和菱形、圆的综合题，考查了菱形的性质：①菱形的每一条对角线平分一组对角，②菱形的四边相等；圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；以及一次函数图象的实际应用，本题是一个分段函数，从图象中读出⊙P的半径，并与方程相结合，采用了分类讨论的思想，使问题得以解决．