Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC=5，BN=BM=3，求△OBC面积．

Answer 1

考点：面积及等积变换,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：连接MN，可证到△BMN∽△BCA，则有

MN

CA

=

BN

BA

=

3

5

，∠BMN=∠BCA，则有MN∥CA，从而得到△OMN∽△OAC，就可求出

OM

OA

、

OM

AM

的值．根据高相等时面积比等于底的比可得

S△BOM

S△BAM

=

OM

AM

=

3

8

，从而有S△BOM=

3

8

S△BAM．同理可得S△COM=

3

8

S△CAM，就可得到S_△OBC=S_△BOM+S_△COM=

3

8

S_△ABC，然后根据条件就可求出△OBC面积．

解答：解：连接MN，如图．
∵AB=BC=5，BN=BM=3，
∴

BN

BA

=

BM

BC

=

3

5

．
∵∠MBN=∠CBA，
∴△BMN∽△BCA，
∴

MN

CA

=

BN

BA

=

3

5

，∠BMN=∠BCA，
∴MN∥CA，
∴△OMN∽△OAC，
∴

OM

OA

=

MN

AC

=

3

5

，
∴

OM

AM

=

3

8

．
∴

S△BOM

S△BAM

=

OM

AM

=

3

8

（等高），
∴S△BOM=

3

8

S△BAM．
同理可得：S△COM=

3

8

S△CAM．
∴S_△OBC=S_△BOM+S_△COM
=

3

8

S△BAM+

3

8

S△CAM
=

3

8

S_△ABC
=

3

8

×

1

2

×BC×AB
=

3

8

×

1

2

×5×5
=

75

16

．
∴△OBC面积为

75

16

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、高相等时三角形的面积比等于底的比等知识，运用面积法是解决本题的关键，运用面积法可以得到

S△OBC

S△ABC

=

OM

AM

这样一个重要的结论，应该掌握它．