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12.“奔跑吧,兄弟!”节目组,预设计一个新的游戏,“奔跑”需经A,B,C,D四点,如图,其中A,B,C三地在同一直线上,D点在A地北偏东30°方向,在C地北偏西45°方向,C地在A地北偏东75°方向.
(1)求证:∠ACD=2∠NAD;
(2)求∠ADC的度数.

分析 (1)首先根据方向角的定义得出∠NAD=30°,∠N′CD=45°,∠NAC=75°.再由NA∥N′C,求出∠ACN′=180°-∠NAC=105°,那么∠ACD=∠ACN′-∠N′CD=105°-45°=60°,即∠ACD=2∠NAD;
(2)在△ACD中,先求出∠DAC=∠NAC-∠NAD=75°-30°=45°,再根据三角形内角和定理即可求解.

解答 (1)证明:由题意,可得∠NAD=30°,∠N′CD=45°,∠NAC=75°.
∵NA∥N′C,
∴∠NAC+∠ACN′=180°,
∴∠ACN′=180°-∠NAC=105°,
∴∠ACD=∠ACN′-∠N′CD=105°-45°=60°,
∴∠ACD=2∠NAD;

(2)解:在△ACD中,
∵∠DAC=∠NAC-∠NAD=75°-30°=45°,∠ACD=60°,
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACD=180°-45°-60°=75°.

点评 本题考查了方向角,平行线的性质,三角形内角和定理,掌握方向角的定义,根据图形得出∠NAD=30°,∠N′CD=45°,∠NAC=75°是解题的关键.

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