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17.如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点,AB为半圆的直径,抛物线的解析式为y=x2-2x-3,求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长3+$\sqrt{3}$.

分析 将x=0代入抛物线的解析式得y=-3,故此可得到DO的长,然后令y=0可求得点A和点B的坐标,故此可得到AB的长,由M为圆心可得到MC和OM的长,然后依据勾股定理可求得OC的长,最后依据CD=OC+OD求解即可.

解答 解:连接AC,BC.
∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3,
∴点D的坐标为(0,-3),
∴OD的长为3.
设y=0,则0=x2-2x-3,解得:x=-1或3,
∴A(-1,0),B(3,0).
∴AO=1,BO=3,AB=4,M(1,0).
∴MC=2,OM=1.
在Rt△COB中,OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$.
∴CD=CO+OD=3+$\sqrt{3}$,即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长3+$\sqrt{3}$.
故答案为:3+$\sqrt{3}$.

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了坐标轴上点的坐标特点,圆的概念和性质,勾股定理等知识点,求的点D的坐标以及OC的长是解题的关键.

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