Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）个

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；

②由，又AD∥BC，所以，进而得出，故②正确；

③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确.

过D作DM∥BE交AC于N，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵，

∴，

∴CF=2AF，故②正确，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM=DE=，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF=DC，故③正确；

∵

∴，

∵

设，则，S四边形CDEF=

∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；

故选：A.