Question

14．设a，b是两个不相等的正整数，P为质数，满足b²+a=p²，且$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$是整数．
（1）求证：a＞b；
（2）求p的值；
（3）求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）运用不等式的性质和因式分解，由$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$≥1可推出a≥b，然后用反证法证明a=b不成立，从而解决问题；
（2）设$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$=k（其中k＞1，k为正整数），则有a²+b=k（b²+a）=kp²，与条件“b²+a=p²”结合，可得p²=$\frac{（a-b）（a+b-1）}{k-1}$．若$\frac{a-b}{k-1}$为正整数，则$\frac{a-b}{k-1}$与a+b-1中有一个是1，另一个是p²，或两个都是p；若$\frac{a+b-1}{k-1}$是正整数，则a-b与$\frac{a+b-1}{k-1}$中有一个是1，另一个是p²，或两个都是p．只需通过分类讨论就可解决问题；
（3）由（2）可知，只有当$\frac{a+b-1}{k-1}$=a-b=p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立，此时（a-b）²=p²=b²+a，整理得a=2b+1，从而得到k=$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$=4-$\frac{3}{b+1}$．由k是大于1的正整数可得$\frac{3}{b+1}$是小于3的正整数，从而求出b，就可得到a．

解答 解：（1）∵a，b是两个不相等的正整数，
∴a²+b，b²+a都是正整数，a+b-1＞0．
∵$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$是整数，
∴$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$≥1，
∴a²+b≥b²+a，
∴a²+b-b²-a=（a+b）（a-b）-（a-b）=（a-b）（a+b-1）≥0，
∴a-b≥0即a≥b．
假设a=b，
则有p²=b²+a=a²+a=a（a+1）．
∵a与a+1连续整数，
∴p²是偶数，
∵P为质数，
∴p=2，
∴b²+a=4，
∴b=1，a=3，
∴$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，
与条件“$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$是整数”矛盾，
∴a＞b；

（2）设$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$=k（其中k＞1，k为正整数），
则有a²+b=k（b²+a）=kp²，
∴（k-1）p²=kp²-p²=a²+b-b²-a=（a-b）（a+b-1），
∴p²=$\frac{（a-b）（a+b-1）}{k-1}$．
∵P是质数，
∴p²=1×p²=p×p．
①$\frac{a-b}{k-1}$=1且a+b-1=p²，
此时a+b-1=p²=b²+a，整理得b²-b+1=0，
方程无解．
②$\frac{a-b}{k-1}$=p²且a+b-1=1，
此时a+b=2，与条件“a、b为不相等的正整数”矛盾；
③$\frac{a-b}{k-1}$=a+b-1=p，
此时（a+b-1）²=p²=b²+a，
∴a=（a+b-1）²-b²=（a+2b-1）（a-1），
∴a+2b-1=$\frac{a}{a-1}$=1+$\frac{1}{a-1}$．
∵a+2b-1为整数，
∴$\frac{1}{a-1}$也是整数，
∴正整数a=2．
∵a＞b，
∴正整数b=1，
∴p=a+b-1=2，
∴$\frac{1}{k-1}$=2，
∴k=$\frac{3}{2}$，与k为正整数矛盾；
④$\frac{a+b-1}{k-1}$=1且a-b=p²，
此时a-b=p²=b²+a，
整理得b²+b=0，
解得b₁=0，b₂=-1，
与b为正整数矛盾；
⑤$\frac{a+b-1}{k-1}$=p²且a-b=1，
此时a=b+1，
k=$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$=$\frac{（b+1）^{2}+b}{{b}^{2}+b+1}$
=$\frac{{b}^{2}+3b+1}{{b}^{2}+b+1}$
=1+$\frac{2b}{{b}^{2}+b+1}$
∵b²+b+1-2b=b²-b+1=（b-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴b²+b+1＞2b＞0，
∴$\frac{2b}{{b}^{2}+b+1}$＜1，
∴k＜2，
与“k是大于1的正整数”矛盾；
⑥$\frac{a+b-1}{k-1}$=a-b=p，
此时（a-b）²=p²=b²+a，
整理得a=2b+1，
则k=$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$=$\frac{（2b+1）^{2}+b}{{b}^{2}+2b+1}$=$\frac{4{b}^{2}+5b+1}{{b}^{2}+2b+1}$
=$\frac{（4b+1）（b+1）}{（b+1）^{2}}$=$\frac{4b+1}{b+1}$=4-$\frac{3}{b+1}$．
∵k是大于1的正整数，
∴$\frac{3}{b+1}$是小于3的正整数，
∴整数b+1=3，
∴b=2，
∴a=2b+1=5，
∴p=a-b=3．
综上所述：p=3；

（3）由（2）可知，
只有当$\frac{a+b-1}{k-1}$=a-b=p时，存在正整数a、b及质数p，使得条件成立，
此时（a-b）²=p²=b²+a，整理得a=2b+1，
则k=$\frac{{a}^{2}+b}{{b}^{2}+a}$=$\frac{（2b+1）^{2}+b}{{b}^{2}+2b+1}$=$\frac{4{b}^{2}+5b+1}{{b}^{2}+2b+1}$
=$\frac{（4b+1）（b+1）}{（b+1）^{2}}$=$\frac{4b+1}{b+1}$=4-$\frac{3}{b+1}$．
∵k是大于1的正整数，
∴$\frac{3}{b+1}$是小于3的正整数，
∴整数b+1=3，
∴b=2，
∴a=2b+1=5．

点评 本题考查了质数与合数、质因数的分解、因式分解、分式的分解等知识，难度比较大，在解决问题的过程中用到了分类讨论、转化（将一个分式转化为一个整数与一个分子是整数的简单分式的和）、反证法等重要的数学思想方法，应学会使用．