Question

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在点Q使△BCQ的面积最大，若存在，请求出点Q坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）根据（1）得到的函数解析式，可求出D、C的坐标；易证得△OBC是等腰Rt△，若过A作BC的垂线，设垂足为E，在Rt△ABE中，根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长；连接AC，设抛物线的对称轴与x轴的交点为F，若∠APD=∠ACB，那么△AEC与△AFP，根据得到的比例线段，即可求出PF的长，也就求得了P点的坐标；
（3）当Q到直线BC的距离最远时，△QBC的面积最大（因为BC是定长），可过Q作y轴的平行线，交BC于S；根据B、C的坐标，易求出直线BC的解析式，可设出Q点的坐标，根据抛物线和直线BC的解析式，分别表示出Q、S的纵坐标，即可得到关于QS的长以及Q点横坐标的函数关系式，以QS为底，B、C横坐标差的绝对值为高可得到△QBC的面积，由于B、C横坐标差的绝对值为定值，那么QS最长时，△QBC的面积最大，此时Q离BC的距离最远；可根据上面得到的函数的性质求出QS的最大值及对应的Q点横坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出Q点的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-9-3b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x-3；

（2）由y=-x²-4x-3，
可得D（-2，1），C（0，-3），
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3$\sqrt{2}$，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=1，
过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEB=90°，
可得BE=AE=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{2}$，
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\frac{2\sqrt{2}}{PF}$，
解得PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（-2，2）或（-2，-2）；

（3）存在，
因为BC为定值，当点Q到直线BC的距离最远时，△BCQ的面积最大，
设直线BC的解析式y=kx+b，
直线BC经过B（-3，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{-3=b}\end{array}\right.$
解得：k=-1，b=-3，
∴直线BC的解析式y=-x-3，
设点Q（m，n），过点Q作QH⊥BC于H，并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S，则S点坐标为（m，-m-3），
∴QS=n-（-m-3）=n+m+3，
∵点Q（m，n）在抛物线y=-x²-4x-3上，
∴n=-m²-4m-3，
∴QS=-m²-4m-3+m+3
=-m²-3m=-（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，QS有最大值$\frac{9}{4}$，
∵BO=OC，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°
∵QS∥y轴，
∴∠QSH=45°，
∴△QHS是等腰直角三角形，
∴当斜边QS最大时QH最大，
∵当m=-$\frac{3}{2}$时，QS最大，
∴此时n=-m²-4m-3=-$\frac{9}{4}$+6-3=$\frac{3}{4}$，
∴Q（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴Q点的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）时，△BCQ的面积最大．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大，关键是将这些知识和方程思想和分类思想的能灵活应用．