【题目】如图,直线m:y=kx(k>0)与直线n:相交于点C,点A、B为直线n与坐标轴的交点,∠COA=60°,点P从O点出发沿线段OC向点C匀速运动,速度为每秒1个单位,同时点Q从点A出发沿线段AO向点O匀速运动,速度为每秒2个单位,设运动时间为t秒.
(1)k= ;
(2)记△POQ的面积为S,求t为何值时S取得最大值;
(3)当△POQ的面积最大时,以PQ为直径的圆与直线n有怎样的位置关系,请说明理由.
【答案】(1)k=;(2)当t=时,S有最大值;(3)直线AB与以PQ为直径的圆O相离,理由详见解析.
【解析】
(1)依据k=tan∠COA进行求解即可;
(2)如图1所示:过点P作PD⊥OA,垂足为D.由锐角三角函数的定义和特殊锐角三角函数值可求得PD= ,然后利用三角形的面积公式列出关系式,最后利用配方法求得三角形面积最大时t的值即可;
(3)如图2所示:过点P作PD⊥OA垂足为D,过圆心O作OE⊥AB,垂足为E.首先证明四边形,四边形OPCE为矩形,然后求得d和r的值即可.
(1)k=tan∠COA=tan60°=.
(2)如图1所示:过点P作PD⊥OA,垂足为D.
令直线n:y=﹣ x+2的y=0得:﹣x+2=0,解得x=6,
∴OA=6.
∵∠COA=60°,PD⊥OA,
∴ ,即.
∴PD= .
∴当t= 时,S有最大值.
(3)如图2所示:过点P作PD⊥OA垂足为D,过圆心O作OE⊥AB,垂足为E.
令直线n:y=﹣ x+2的x=0得:y=2 .
∴OB=2.
∵tan∠BAO= ,
∴∠BAO=30°.
∴∠ABO=60°.
∴OC=OBsin60°=2 =3.
∵∠COA=60°,
∴∠BOC=30°.
∴∠BOC+∠OBC=90°.
∴∠OCA=90°.
当t=时,OD= =,PD=.DQ=3﹣ = .
∴tan∠PQO=.
∴∠PQO=30°.
∴∠BAO=∠PQO.
∴PQ∥AB,
∴∠CPQ+∠PCA=180°.
∴∠CPQ=180°﹣90°=90°.
∴∠ECP=∠CPO=∠OEC=90°.
∴四边形OPCE为矩形.
∴d=OE=PC=OC﹣OP=3﹣=.
PQ=OQsin60°=3×.
∴r=PO=.
∵d>r.
∴直线AB与以PQ为直径的圆O相离.
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【题目】如图,直线y=-x-3与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AD,DC.设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在第三象限,设△DAC的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;
(3)连接BC,若∠EAD=∠OBC,请直接写出此时点D的坐标.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:AD2=DPPC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.
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【题目】《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相同,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各种多少两?设黄金重两,每枚白银重两,根据题意可列方程组为____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=3,点D是BC边上一动点(不与B,C重合),过点D做DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿着直线DE翻折,点B落在BC边上的点F处,若∠AFE=90°,则BD的长是_____.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 了解“贵港市初中生每天课外阅读书籍时间的情况“最适合的调查方式是全面调查
B. 甲乙两人跳绳各10次,其成绩的平均数相等,若则甲的成绩比乙的稳定
C. 平分弦的直径垂直于弦
D. “任意画一个三角形,其内角和是360°”是不可能事件
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【题目】如图,PB为⊙O的切线,B为切点,过B作OP的垂线BA,垂足为C,交⊙O于点A,连接PA、AO,并延长AO交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)若AC=6,OC=4,求PA的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C,点B′恰好落在线段AB上,AC、A′B′相交于O,则∠COA′的度数为_________.
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【题目】图①是由一个完全相同的小正方体组成的立体图形,将图①中的一个小正方体改变位置后如图②,则三视图发生改变的是( )
A. 主视图,俯视较和左视图都改变
B. 左视图
C. 俯视图
D. 主视图
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