Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A（4，0），顶点的纵坐标是-1，抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线y=-2x-1与抛物线交于一点B（-2，m），且与y轴、抛物线的对称轴分别交于点D、E．
（1）求m的值与抛物线的解析式．
（2）试判断△BCE的形状并说明理由．
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线上点的性质将B点代入直线解析式得出m的值，即可得出二次函数顶点坐标，利用顶点式求出即可；
（2）首先求出E点坐标，再求出CG=3，BG=4，以及BC的长，即可得出△BCE的形状；
（3）作EH⊥y轴于H，可证明△DHE≌△DKB，求出直线CD的解析式，再与二次函数解析式联立求出交点坐标即可．

解答：解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
由对称性知抛物线的顶点坐标为（2，-1），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²-1，
将点O（0，0）代入解析式得：a=

1

4

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

(x-2)2-1；

（2）△BCE是等腰三角形，
抛物线y=

1

4

(x-2)2-1的对称轴是x=2，
∴直线y=-2x-1与直线x=2的交点坐标是E（2，-5），
∴CE=5，
如图，作BG⊥直线x=2于点G，则CG=3，BG=4，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=

32+42

=5，
∴BC=CE，△BCE是等腰三角形．

（3）存在，
作EH⊥y轴于H，
∵∠BKD=∠DHE，
∠BDK=∠HDE，
BK=HE=2，
∴△DHE≌△DKB，
∴DB=DE，又CB=CE，
∴CD是线段BE的垂直平分线，
由PB=PE，∴点P在直线CD上，
∴符合条件的点P是直线CD与抛物线的交点
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将点D（0，-1），C（2，0）分别代入得：

b=-1 2k+b=0

，
解得：k=

1

2

，b=-1，
∴直线CD的解析式为y=

1

2

x-1；
解方程组：

y= 1 2 x-1 y= 1 4 (x-2)2-1

，
得：

x1=3+ 5 y1= 1+ 5 2

，

x2=3- 5 y2= 1- 5 2

，
∴符合条件的点P的坐标为（3+

5

，

1+ 5

2

）或（3-

5

，

1- 5

2

）．

点评：此题主要考查了待定系数法求以一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及函数交点坐标求法等知识，结合数形结合熟练应用函数交点求法是解决问题的关键．