Question

1．如图，直线l₁：y₁=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l₁上一点，另一直线l₂：y₂=$\frac{1}{2}$x+b过点P，与x轴交于点C．
（1）直接写出m和b的值及点A、点C的坐标；
（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；
③是否存在t的值，使△APQ为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点P坐标代入直线l₁解析式可求得m，可求得P点坐标，代入直线l₂可求得b，可求得直线l₂的解析式，在y₁=0可求得A点坐标，令y₂=0可求得相应x的值，可求得C点坐标；
（2）①分点Q在A、C之间和点Q在A的右边两种情况，分别用t可表示出AQ，则可表示出S；
②令S=3可求得t的值；
③可设出Q坐标为（x，0），用x可分别表示出PQ、AQ和AP的长，分PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三种情况可得到关于的方程，可求得相应的x的值，则可求得Q点的坐标，则可求得CQ的长，可求得t的值．

解答 解：
（1）∵点P在直线l₁上，
∴3=-m+2，解得m=-1，
∴P（-1，3），
∵y₂=$\frac{1}{2}$x+b过点P，
∴3=$\frac{1}{2}$×（-1）+b，解得b=$\frac{7}{2}$，
∴直线y₂=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，令y₂=0可得0=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，解得x=-7，
∴点C坐标为（-7，0），
在y₁=-x+2中，令y₁=0可得-x+2=0，解得x=2，
∴A点坐标为（2，0）；
（2）①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，
∵A（2，0），C（-7，0），
∴AC=2-（-7）=9，
当Q在A、C之间时，则AQ=AC-CQ=9-t，
∴S=$\frac{1}{2}$×3×（9-t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{27}{2}$；
当Q在A的右边时，则AQ=CQ-AC=t-9，
∴S=$\frac{1}{2}$×3×（t-9）=$\frac{3}{2}$t-$\frac{27}{2}$；
②令S=3可得-$\frac{3}{2}$t+$\frac{27}{2}$=3或$\frac{3}{2}$t-$\frac{27}{2}$=3，解得t=6或t=11，
即当t的值为6秒或11秒时△APQ的面积等于3；
③设Q（x，0）（x≥-7），
∵A（2，0），P（-1，3），
∴PQ²=（x+1）²+3²=x²+2x+10，AQ²=（x-2）²=x²-4x+4，AP²=（2+1）²+3²=18，
∵△APQ为等腰三角形，
∴有PQ=AQ、PQ=AP和AQ=AP三种情况，
当PQ=AQ时，则PQ²=AQ²，即x²+2x+10=x²-4x+4，解得x=-1，则Q点坐标为（-1，0），
∴CQ=-1-（-7）=6，即t=6；
当PQ=AP时，则PQ²=AP²，即x²+2x+10=18，解得x=-4或x=2，则Q点坐标为（-4，0）或（2，0）（与A点重合，舍去），
∴CQ=-4-（-7）=3，即t=3；
当AQ=AP时，则AQ²=AP²，即x²-4x+4=18，解得x=2±3$\sqrt{2}$，则Q点坐标为（2+3$\sqrt{2}$，0）或（2-3$\sqrt{2}$，0），
∴CQ=2+3$\sqrt{2}$-（-7）=9+3$\sqrt{2}$或CQ=2-3$\sqrt{2}$-（-7）=9-3$\sqrt{2}$，即t=9+3$\sqrt{2}$或t=9-3$\sqrt{2}$；
综上可知存在满足条件的t，其值为6或3或t=9+3$\sqrt{2}$或t=9-3$\sqrt{2}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数与坐标轴的交点、函数图象的交点问题、三角形的面积、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键，在（2）中用t表示出AQ的长是解题的关键，在（3）中求得Q点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．