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1.如图,在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在坐标原点,半径为3.过A(-7,9),B(0,9)的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)与x轴交于D,E (点D在点E右边)两点,连结AD.
(1)若点D的坐标为D(3,0).
①请直接写出此时直线AD与⊙O的位置关系;
②求此时抛物线对应的函数关系式;
(2)若直线AD和⊙O相切,求抛物线二次项系数a的值;
(3)当直线AD和⊙O相交时,直接写出a的取值范围.

分析 (1)①设过点A和D的直线为y=kx+b,把A和D的坐标代入求出直线的解析式,进而可得到直线和x轴的交点坐标,再求出圆心O到直线AD的距离即可判断直线AD与⊙O的位置关系;②由B的坐标为(0,9),可设抛物线解析式为y=ax2+bx+9(a≠0),把A,D的坐标代入求出a和b的值即可求出抛物线的解析式;
(2)过A有两条圆的切线,切点为G,连OG,过A作AH⊥x轴,易证△OGD∽△AHD,OG:OD=AH:AD,因为OG=3,AH=9,OD=|m|,所以可得AD=3|m|,在Rt△AHD中,92+(m+7)2=(3m)2,解方程可求出m的值,进而可求出点D的坐标,由(1)中的思路即可求出a的值;
(3)由(2)可知当直线AD和⊙O相切时,可求出a的值,进而可得到当直线AD和⊙O相交时,出a的取值范围.

解答 解:(1)①设过点A和D的直线为y=kx+b,把A和D的坐标代入得:
$\left\{\begin{array}{l}{9=-7k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{10}}\\{b=\frac{27}{10}}\end{array}\right.$,
∴y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{27}{10}$,
∴直线和y轴交点坐标为(0,$\frac{27}{10}$),
∴圆心O到直线AD的距离d=$\frac{3×\frac{27}{10}}{\sqrt{{3}^{2}+\frac{729}{100}}}$≈2.1,
∵圆的半径r=3,
∴d<r,
∴此时直线AD与⊙O的位置关系为相交;
②因为抛物线过A(-7,9),B(0,9)D(3,0).可设抛物线解析式为y=ax2+bx+9(a≠0),
得:$\left\{\begin{array}{l}9={(-7)^2}a+(-7)a+9\\ 0=9a+3b+9\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{10}}\\{b=-\frac{21}{10}}\\{c=9}\end{array}\right.$,
即抛物线的解析式为:y=-$\frac{3}{10}$x2-$\frac{21}{10}$x+9;
(2)如图所示,过A有两条圆的切线,切点为G,连OG,过A作AH⊥x轴.
∵∠OGD=∠AHD=90°,∠ADH=∠ADH,
∴△OGD∽△AHD,
∴OG:OD=AH:AD,
∵OG=3,AH=9,OD=|m|,
∴AD=3|m|,
在Rt△AHD中,92+(m+7)2=(3m)2
得:4m2-7m-65=0,
∴$m=5或m=-\frac{13}{4}$,
∴OD=5或$\frac{13}{4}$,
∴点D的坐标为(5,0)或(-$\frac{13}{4}$,0),
设抛物线解析式为=ax2+bx+9,把A和D的坐标分别代入可得$a=-\frac{3}{20}或\frac{48}{65}$;
(3)由(2)可知当直线AD和⊙O相切时,a的值为-$\frac{3}{20}$或$\frac{48}{65}$,
所以当直线AD和⊙O相交时,a的取值范围为:$a<-\frac{3}{20}或a>\frac{48}{65}$.

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目,用到的知识点有:用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式;直线和圆有关的位置关系;切线的性质;相似三角形的判定和性质;勾股定理的运用以及解一元二次方程,题目的综合性较强,难度较大,对学生的综合解题能力要求很高.

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