Question

1．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，半径为3．过A（-7，9），B（0，9）的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴交于D，E （点D在点E右边）两点，连结AD．
（1）若点D的坐标为D（3，0）．
①请直接写出此时直线AD与⊙O的位置关系；
②求此时抛物线对应的函数关系式；
（2）若直线AD和⊙O相切，求抛物线二次项系数a的值；
（3）当直线AD和⊙O相交时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①设过点A和D的直线为y=kx+b，把A和D的坐标代入求出直线的解析式，进而可得到直线和x轴的交点坐标，再求出圆心O到直线AD的距离即可判断直线AD与⊙O的位置关系；②由B的坐标为（0，9），可设抛物线解析式为y=ax²+bx+9（a≠0），把A，D的坐标代入求出a和b的值即可求出抛物线的解析式；
（2）过A有两条圆的切线，切点为G，连OG，过A作AH⊥x轴，易证△OGD∽△AHD，OG：OD=AH：AD，因为OG=3，AH=9，OD=|m|，所以可得AD=3|m|，在Rt△AHD中，9²+（m+7）²=（3m）²，解方程可求出m的值，进而可求出点D的坐标，由（1）中的思路即可求出a的值；
（3）由（2）可知当直线AD和⊙O相切时，可求出a的值，进而可得到当直线AD和⊙O相交时，出a的取值范围．

解答 解：（1）①设过点A和D的直线为y=kx+b，把A和D的坐标代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{9=-7k+b}\\{0=3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{9}{10}}\\{b=\frac{27}{10}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{27}{10}$，
∴直线和y轴交点坐标为（0，$\frac{27}{10}$），
∴圆心O到直线AD的距离d=$\frac{3×\frac{27}{10}}{\sqrt{{3}^{2}+\frac{729}{100}}}$≈2.1，
∵圆的半径r=3，
∴d＜r，
∴此时直线AD与⊙O的位置关系为相交；
②因为抛物线过A（-7，9），B（0，9）D（3，0）．可设抛物线解析式为y=ax²+bx+9（a≠0），
得：$\left\{\begin{array}{l}9={（-7）^2}a+（-7）a+9\\ 0=9a+3b+9\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{10}}\\{b=-\frac{21}{10}}\\{c=9}\end{array}\right.$，
即抛物线的解析式为：y=-$\frac{3}{10}$x²-$\frac{21}{10}$x+9；
（2）如图所示，过A有两条圆的切线，切点为G，连OG，过A作AH⊥x轴．
∵∠OGD=∠AHD=90°，∠ADH=∠ADH，
∴△OGD∽△AHD，
∴OG：OD=AH：AD，
∵OG=3，AH=9，OD=|m|，
∴AD=3|m|，
在Rt△AHD中，9²+（m+7）²=（3m）²，
得：4m²-7m-65=0，
∴$m=5或m=-\frac{13}{4}$，
∴OD=5或$\frac{13}{4}$，
∴点D的坐标为（5，0）或（-$\frac{13}{4}$，0），
设抛物线解析式为=ax²+bx+9，把A和D的坐标分别代入可得$a=-\frac{3}{20}或\frac{48}{65}$；
（3）由（2）可知当直线AD和⊙O相切时，a的值为-$\frac{3}{20}$或$\frac{48}{65}$，
所以当直线AD和⊙O相交时，a的取值范围为：$a＜-\frac{3}{20}或a＞\frac{48}{65}$．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有：用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式；直线和圆有关的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理的运用以及解一元二次方程，题目的综合性较强，难度较大，对学生的综合解题能力要求很高．