Question

【题目】如图，四边形ABDC中，，点O为BD的中点，且OA平分．

（1）求证：OC平分；

（2）求证：；

（3）求证：AB+CD=AC．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）过点O作OE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB＝OE，从而求出OE＝OD，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；

（2）利用“HL”证明△ABO和△AEO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，然后求出∠AOC＝90°，再根据垂直的定义即可证明；

（3）根据全等三角形对应边相等可得AB＝AE，CD＝CE，然后证明即可．

（1）过点O作OE⊥AC于E，

∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，

∴OB＝OE，

∵点O为BD的中点，

∴OB＝OD，

∴OE＝OD，

∴OC平分∠ACD；

（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，

，

∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），

∴∠AOB＝∠AOE，

同理求出∠COD＝∠COE，

∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝×180°＝90°，

∴OA⊥OC；

（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，

∴AB＝AE，

同理可得CD＝CE，

∵AC＝AE＋CE，

∴AB＋CD＝AC．