Question

如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，E为BC中点．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）延长ED交BA的延长线于F，若DF=4，AF=2，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD和DB，根据直角三角形斜边上中线性质得出DE=BE，推出∠2=∠4，根据等腰三角形性质得出∠1=∠3，根据∠3+∠4=∠1+∠2=∠ABC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）在Rt△FDO中，根据勾股定理求出半径，证△FDO∽△FBE，得出比例式求出BE，即可求出BC．

解答：解（1）如图，连接DB，OD，
∵OD=OB
∴∠1=∠3．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠CDB，
∵E为BC中点，
∴DE=BE，
∴∠2=∠4．
∵BC切⊙O于点B，
∴∠ABC=90°=∠3+∠4，
∴∠1+∠2=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O半径，
∴DE为⊙O的切线；

（2）∵OD⊥DE，
∴∠FDO=90°，
设OA=OD=r．
∵OF²=FD²+OD²，DF=4，AF=2，
∴（r+2）²=4²+r²，
解得r=3，
∴OA=OD=3，FB=8，
∵∠F=∠F，∠FDO=∠FBE=90°，
∴△FDO∽△FBE，
∴

FD

FB

=

OD

BE

，
∴BE=6，
∵E为BC中点，
∴BC=2BE=12．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．