Question

4．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，以CD为边向形外作等边三角形CDE，联结AD、BE．
（1）试说明AD=BE的理由；
（2）如果∠CBE=30°，试说明BD=CD的理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质证明△ADC≌△BEC即可；
（2）由（1）的结论，再结合条件可证明AD平分∠BAC，根据等边三角形的性质可证得BD=CD．

解答 证明：
（1）∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=EC，∠ACB=∠BCE=60°，
在△ADC和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
（2）由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE=30°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-30°=30°，
∴∠CAD=∠BAD，即AD平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴BD=CD．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．