Question

有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a，AD=b，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．
①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？
②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？

Answer 1

解：（1）证明：由（x+AF）•a=（b-x+b-AF）•a，
得AF=b-x，
又EC=b-x，
∴AF=EC．

（2）翻折后的图形如图，

①如图1，当直线EE′经过原矩形顶点D时，x：b=，
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，x：b=；
②如图1，当矩形E′E经过原矩形顶点D时，BE′∥EF，
理由如下：根据题意得，BE=DF，EE′=EF，
又∵∠BEE′=∠DEC=∠EDF，
∴在△BEE′与△FDE中，
，
∴△BEE′≌△FED（SAS），
∴∠BE′E=∠FED，
∴BE′∥EF；
如图2，当直线E′E经过原矩形的顶点A时，且当a：b=时，BE′与EF垂直．
分析：（1）由于EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可由面积相等建立等式，进而求解；
（2）可先作出简单的图形，根据题中条件，则可作出两种符合题意的图形，进而依据题意再结合图形，求解即可．
点评：本题主要考查了梯形面积的计算方法以及对于翻折、旋转一类问题的求解，能够熟练掌握这类问题的解题思想，并能够熟练求解．