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13.已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P是AC的中点.
实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法):①以线段BC为直径作⊙O,交AB于点D;②连接PD.
推理与运用:求证:PD是⊙O的切线.

分析 先作BC的垂直平分线得到BC的中点0,再以O点为圆心,OB为半径作⊙O交AB于D,连结OD、CD,根据圆周角定理得到∠BDC=90°,接着根据斜边上的中线性质得PC=PD,则∠3=∠4,加上∠1=∠2,于是∠2+∠4=∠1+∠3=90°,则OC⊥PC,然后根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线.

解答 证明:如图,连结OD、CD,
∵BC为直径,
∴∠BDC=90°,
∵P点为Rt△ADC斜边上的中线,
∴PC=PD,
∴∠3=∠4,
∵OC=OD,
∴∠1=∠2,
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°,
∴OC⊥PC,
∴PD是⊙O的切线.

点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了尺规作图.

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