Question

13．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P是AC的中点．
实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：①以线段BC为直径作⊙O，交AB于点D；②连接PD．
推理与运用：求证：PD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 先作BC的垂直平分线得到BC的中点0，再以O点为圆心，OB为半径作⊙O交AB于D，连结OD、CD，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，接着根据斜边上的中线性质得PC=PD，则∠3=∠4，加上∠1=∠2，于是∠2+∠4=∠1+∠3=90°，则OC⊥PC，然后根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线．

解答 证明：如图，连结OD、CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵P点为Rt△ADC斜边上的中线，
∴PC=PD，
∴∠3=∠4，
∵OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，
∴OC⊥PC，
∴PD是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了尺规作图．