Question

4．如图1，AB∥CD，∠CDE+∠AED=180°+∠ABC．
（1）求证：AE∥BC；
（2）如图2，点F为射线BA上一点（F不与A重合），连接CA、CF，若∠CAE＞∠CAB时，∠FAE的角平分线与∠DCF的角平分线交于AC左侧一点G，请补全图形后探究∠AGC、∠BFC、∠ABC的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 第（1）小题，过点D作DM∥AE交AB于点M，根据平行线的性质，得到∠E+∠EDM=180°；根据题目中∠CDE+∠E=180°+∠ABC，推出∠MDC=∠B；根据AB∥CD，得∠B+∠C=180°，通过等量代换，证得DM∥CB，根据平行于同一条直线的两直线平行，即可证得结论；
第（2）小题，根据平行线的性质及角平分线的定义，易证∠F=2∠GCF，∠B=2∠FAG，从图中可以看出，∠FAG+∠F=∠FCG+∠G，即可证得∠B、∠F和∠G的关系．

解答 解：（1）如图1，过D作DM∥AE交AB于点M，
∴∠E+∠1=180°，
∵∠E+∠1+∠2=180°+∠2=180°+∠B，
∴∠2=∠B，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠3=180°，
∴∠2+∠3=180°，
∴DM∥CB，
∴AE∥CB．
（2）如图2，数量关系为：：∠B+∠F=2∠G．
理由如下：
∵CG平分∠DCF，AG平分∠FAE，
∴∠DCF=2∠2，∠FAE=2∠1，
∵AB∥CD，AE∥BC+
∴∠F=∠DCF=2∠2，∠B=∠FAE=2∠1，
∵∠1+∠F=∠2+∠G，
∴$\frac{1}{2}∠B+∠F=\frac{1}{2}∠F+∠G$，
∴∠B+∠F=2∠G．

点评 本题主要考查平行线的性质和判定，熟记平行线的性质和判定是解决此类问题的关键．解决第（1）小题的关键是能通过作辅助线建立AE和BC的联系；第（2）小题，能根据平行线的性质，理清各角之间的关系是解决此题的关键．