Question

如图，已知双曲线y=

k

x

（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=

 

．

Answer 1

分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=

1

2

|k|．

解答：解：过D点作DE⊥x轴，垂足为E，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴DE∥AB，
∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，
∴DE为Rt△OAB的中位线，
∴DE∥AB，
∴△OED∽△OAB，
∴两三角形的相似比为：

OD

OB

=

1

2

∵双曲线y=

k

x

（k＞0），可知S_△AOC=S_△DOE=

1

2

k，
∴S_△AOB=4S_△DOE=2k，
由S_△AOB-S_△AOC=S_△OBC=3，得2k-

1

2

k=3，
解得k=2．
故本题答案为：2．

点评：主要考查了反比例函数y=

k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为

1

2

|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．